இயல் எண்கள், முழு எண்கள்

1. ஏறு வரிசையில் எண்களுக்கு முடிவேயில்லை

2. இயல் எண்கள் (Natural numbers) அல்லது எண்ணும் எண்கள் (Counting numbers) அல்லது
மிகை முழு எண்கள் (Positive integers) N = {1, 2, 3, 4, …..}

3. முழு எண்கள் நிறைவெண்கள் (Whole numbers) W = {0, 1, 2, 3,4,…}

4. பூச்சியத்திலிருந்து எண் கோட்டை நீட்டிச் சென்றால், அதற்கு முடிவேயில்லை.

5. எல்லா முழு எண்களுக்கும் தொடரி உண்டு.

6. எல்லா முழு எண்களையும் பெருக்கலாம், கூட்டலாம்.

7. பூச்சியத்தைத் தவிர எல்லா முழு எண்களுக்கும் முன்னி உண்டு.

8. எந்த இயல் எண்ணிடமிருந்தும் அதைவிடச் சிறிய இயல் எண்ணை அல்லது அதே
எண்ணினைக் கழிக்கலாம்.

9. ஒரு பெரிய எண்ணை சிறிய எண்ணால் வகுத்து மீதி காணலாம்.

பின்னங்கள்

• பின்னம் என்பது முழுப்பகுதியைச் சம பாகங்களாகப் பிரித்து, அதில் ஒரு பாகம் அல்லது பல பாகங்களைக் குறிக்கின்ற எண் ஆகும்.
• பின்னத்தில் மேலிருக்கும் எண் தொகுதி என்பர்.கீழிருக்கும் எண் பகுதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
• இரு பின்னங்களின் பகுதி ஒரே எண்ணாக இருந்தால் அவை ஓரினப்பின்னங்கள் ஆகும்.
• பகுதி ஒரே எண்ணாக இருந்தால், தொகுதியை மட்டும் கூட்டினால் பின்னங்களின் கூடுதல் கிடைத்துவிடும்.
• இரு பின்னங்களின் பகுதிகள் வெவ்வேறாக இருந்தால், அவை “வேற்றினப் பின்னங்கள்” எனப்படும்.

தகா பின்னங்கள் மற்றும் கலப்புப் பின்னங்கள்:

• பகுதியைவிடத் தொகுதி சிறியதாகஇருந்தால் அந்தப் பின்னத்தைத் தகுபின்னம் என்று கூறுகின்றோம்.
• பகுதியைவிடத் தொகுதி பெரியதாக இருந்தால் அந்தப் பின்னத்தைத் தகா பின்னம் என்று கூறுகின்றோம்.

கலப்புப் பின்னம் = இயல் எண் + தகுபின்னம்

• எல்லா முழு எண்களையும் பின்னமாகக் கருதலாம். இங்கு ஒவ்வொரு எண்ணிலும் பகுதி 1 எனக் கருதப்படும்.
• முழுப் பகுதியைப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும்போது பின்னம் கிடைக்கிறது.
• பின்னத்தின் தொகுதியையும், பகுதியையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்கினால் சமான பின்னம்கிடைக்கும்.
• ஓரினப் பின்னங்களின் ஒப்பிடுதல், கூட்டல், கழித்தல் செய்ய, அதன் தொகுதிகளை மட்டும்
  எடுத்து இச்செயல்களைச் செய்தால் போதும்.
• வேற்றினப் பின்னங்களின் ஒப்பிடுதல், கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செய்ய அவற்றின் சமமான
  பின்னங்களைக் கொண்டு ஓரினப் பின்னங்களாக மாற்றவேண்டும்.
• எண் கோட்டில் எந்த இரு பின்னங்களுக்கும் நடுவில் ஒரு பின்னத்தைக் குறிக்கலாம்.

தசம எண்கள்

• என்பதைப் புச்சியம் புள்ளி ஒன்று என்று படிக்க வேண்டும். எண்களுக்கு இடையே வரும் புள்ளி தசமத்தைக் குறிக்கும்.
• தசம எண்களில், தசம புள்ளிக்கு இடப்புறம் வரும் எண் முழு எண் பகுதி என்றும், வலப்புறம் வரும் எண் தசம பகுதி என்றும் அறிகிறோம்.
• எல்லா தசம பகுதியின் மதிப்பும் 1ஐ விடக் குறைவானது.
• நம் நாட்டில் அணா, சக்கரம், காசு, பணம் என்று பழக்கத்தில் இருந்த முறை, 1957 முதல் ரூபாய் மற்றும் பைசா என்று தசமமுறைக்கு மாற்றி நடைமுறைப்படுத்தப்பட்டது.
• 10இன் அடுக்குகளைப் பகுதிகளாகக்கொண்ட பின்னங்கள் ‘தசம பின்னங்கள்’ எனப்படும்.
• முழு எண் பகுதியும், தசம பகுதியும் தசம புள்ளியால் சேர்ந்த எண்கள் தசம எண்கள் ஆகும். எல்லா முழு எண்களும் தசம எண்களாகக் கருதப்படும்.
• தசம எண்களில் புள்ளிக்கு வலப்புறத்தில் உள்ள இலக்கங்களுக்கு இறுதியில் வரும் பூச்சியங்களுக்கு மதிப்பு இல்லை.
• முழு எண்களைப் போலவே தசம எண்களையும் அவற்றின் இடமதிப்புக்கேற்றவாறு ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக எழுதிக் கூட்டல், கழித்தல் செயல்பாடுகளைச் செய்யவேண்டும்.

வகுத்திகள், காரணிகள்

1. இயல் எண்களை எந்த வரிசையில் கூட்டினாலும் வரும் விடை ஒன்றே.

2. இயல் எண்களை எந்த வரிசையில் பெருக்கினாலும் வரும் விடை ஒன்றே.

3. கூட்டல், பெருக்கல் இரண்டையும் ஒரே சமயத்தில் கணக்கிடும்பொழுது ( ) என்ற அடைப்புக்
குறிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

4. கழித்தலுக்கும், வகுத்தலுக்கும் அடைவுத்தன்மை கிடையாது.

5. கழித்தலுக்கும் வகுத்தலுக்கும் வரிசை மிக முக்கியம்.

6. எந்த ஓர் இயல் எண்ணும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட எண்களின் பெருக்கலாக அமையும். (1ஐத் தவிர)

7. ஓர் எண்ணை மீதியின்றி (அதாவது மீதி ஸ்ரீ 0) வகுக்கும் எண்கள் அனைத்தும் அந்த எண்ணின் வகுத்திகள் எனப்படும்.

8. 1 மற்றும் அதே எண்ணால் மட்டும் வகுபடும தன்மை கொண்ட எண்களே பகா எண்கள்
எனப்படும்.

9. எல்லாக் காரணிகளும் வகுத்திகளே. ஆனால் எல்லா வகுத்திகளும் காரணிகள் அல்ல.

10. இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட வகுத்திகள் கொண்ட எண்கள் பகு எண்கள் எனப்படும்.

11. ஒன்று முதல் 100 வரை மொத்தம் 25 பகா எண்கள் உள்ளன.

12. 1ஆம் இலக்க எண் 0, 2, 4, 6, 8 என்ற இரட்டைப் படை எண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே 2ஆல் வகுபடும்.

13. 1ஆம் இலக்க எண் பூச்சியம் அல்லது 5 ஆக இருப்பின் அது 5ஆல் வகுபடும்.

14. 1ஆம் இலக்க எண் பூச்சியமாக இருப்பின் 10ஆல் வகுபடும்.

15. ஓர் எண் 2, 5, 10 ஆல் வகுபடுமோ என்பதைக் கண்டறிய அந்த எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை பார்க்க வேண்டும்

16. ஓர் எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் (1, 10ஆம் இலக்கங்கள்) 4இன் மடங்காக இருக்கும் எனில், அந்த எண் 4ஆல் வகுபடும். இல்லையெனில், 4ஆல் வகுபடாது.

17. ஓர் எண்ணின் கடைசி மூன்று இலக்கங்கள் 8இன் மடங்காக இருக்கும் எனில், அந்த எண்
8ஆல் வகுபடும்.

18. ஓர் எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் 9இன் மடங்காக இருக்கும் எனில், அந்த எண் 9ஆல்
வகுபடும்.

19. ஓர் எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் 3இன் மடங்காக இருக்கும் எனில் அந்த எண் மூன்றால் வகுபடும். மேலும், 2 மற்றும் 3ஆல் வகுபடும் எண் 6ஆல் வகுபடும்.

20. ஓர் எண்ணின் ஒற்றை இட எண்களின் இலக்கங்களின் கூடுதலுக்கும், இரட்டை இட எண்களின் இலக்கங்களின் கூடுதலுக்கும் உள்ள வித்தியாசம் 0 ஆகவோ அல்லது 11இன் மடங்காகவோ இருந்தால் அந்த எண் 11ஆல் வகுபடும்.

21. எண்களை எந்த வரிசையிலும் கூட்டலாம், பெருக்கலாம். (கழித்தல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்களுக்கு இது பொருந்தாது)

22. ஓர் எண்ணை மற்றொரு எண் மீதியின்றி வகுக்குமானால் (அதாவது மீதி 0 ஆக இருக்குமானால்) அவ்வகுப்பான் அவ்வெண்ணின் வகுத்தி எனப்படும்.

23. 1 என்பது எல்லா எண்களுக்கும் வகுத்தியாக அமையும். ஓர் எண் அதற்கு வகுத்தியாக அமையும்.

24. 1 மற்றும் அந்த எண்ணால் மட்டுமே வகுபடும் எண்கள் பகா எண்கள் ஆகும். மற்ற எண்கள் பகு எண்கள் ஆகும்.

25. ஓர் எண்ணின் 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11 ஆகியவற்றால் வகுபடுந்தன்மையை எளிதாக அறிய
முடியும்.

26. எந்த ஓர் எண்ணையும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பகா எண்களின் பெருக்கலாக எழுதும் முறை ‘பகாக் காரணிப்படுத்துதல்’ ஆகும்.

27. வெவ்வேறு எண்களின் பொது வகுத்திகளில் மிகப் பெரிய வகுத்தி அவ்வெண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி ஆகும்.

28. இரு எண்களின் மீப்பெரு பொ.வ. 1 எனில் அவ்விரு எண்களும் சார்பகா எண்கள் எனப்படும்.

29. வெவ்வேறு எண்களின் பொது மடங்குகளில் மிகச் சிறிய மடங்கு அவ்வெண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு ஆகும்.

30. இரு எண்களின் பெருக்கற்பலன் அவற்றின் மீப்பெரு.பொ.வ. மற்றும் மீச்சிறு பொ.ம. ஆகியவற்றின் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமமாகும்.

புள்ளி, கோடு, கோட்டுத்துண்டு, தளம்

• புள்ளி என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையினைக் குறிக்கும்.
• கதிர் என்பது ஒரு புள்ளியில் தொடங்கி முடிவில்லாமல் செல்லும் நேர்கோடு ஆகும்.
• தளத்தை அமைக்கு குறைந்தபட்சம் ஒரே நேர்கோட்டில் அமையாத மூன்று புள்ளிகள் தேவை.
• ஒரே நேர்கோட்டில் அமையும் புள்ளிகள் ஒருகோடமைப் புள்ளிகள் எனப்படும்.
• இணையில்லாக் கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்ளும்.
• ஒன்றையொன்றை வெட்டிக்கொள்ளாத கோடுகள் இணைகோடுகள் எனப்படும்.
• மூன்று அல்லது மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட நேர்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழி சென்றால் அவை ஒரு புள்ளி வழி செல்லும் நேர்கோடுகள் எனப்படும்.
• புள்ளிகள் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையைக் குறிக்கும்.
• மிக நெருக்கமாகக் குறிப்பிட்ட வரிசையில் அமையும் புள்ளிகளின் தொகுப்பு, கோடு ஆகும்.
• நேர்கோடு என்பது இருபுறமும் தொடர்ந்து செல்லும்.
• கதிர் என்பது ஒரு தொடக்கப்புள்ளியைக் கொண்ட கோடு ஆகும்.
• கோட்டுத் துண்டு என்பது கொடுக்கப்பட்ட இருபுள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்டது ஆகும்.
• தளம் என்பது அனைத்துத் திசைகளிலும் முடிவில்லாத எல்லைகளைக் கொண்டது.
• இணையற்ற இரு நேர்கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்ளும்.
• வெட்டிக் கொள்ளாத இரு நேர்கோடுகள் இணைகோடுகள் ஆகும்.
• இரு நேர்கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் செங்கோணம் எனில், அவை செங்குத்துக்
  கோடுகள் ஆகும்.
• மூன்று அல்லது மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமையும் எனில், அவை ஒரு
  கோடமைப் புள்ளிகள் எனப்படும்.
• மூன்று அல்லது மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட நேர்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிச் சென்றால், அவை ஒரு
  புள்ளி வழிக்கோடுகள் எனப்படும்.

விகிதம், விகிதசமம், நேர்விகிதம்

விகிதம்:

• விகிதம் என்பது ஒத்த அலகினைச் சார்ந்த இரண்டு அல்லது இரண்டிற்கு மேற்பட்ட அளவுகளை ஒப்பிட உதவும் ஒரு வழிமுறை.
• பூஜ்ஜியமில்லாத இரண்டு அளவுகள் ய மற்றும் டி இன் விகிதத்தினை a:b என எழுத வேண்டும். இதை “a isto b” எனப் படிக்க வேண்டும்.
• விகிதத்தை “:” என்ற குறியீட்டின் மூலம் குறிக்கலாம்.
• a மற்றும் b என்பன விகிதத்தின் உறுப்புகளாகும். “a” ஐ முகப்பெண் என்றும் “b” ஐ பின்னுறுப்பு என்றும் கூறலாம்.
• விகிதத்தினை எண்ணால் குறிப்பிடுகிறோம். எனவே அதற்கு அலகு தேவையில்லை.
• விகிதத்தில் வரிசை முக்கியமாகும். அதாவது a:b என்பதும்  b:a என்பதும் ஒன்றல்ல.
• ஒரு விகிதத்தின் உறுப்புகளுக்கிடையே பொதுக்காரணி இருப்பின், அப்பொதுக் காரணியால் சுருக்கி எளிய வடிவில் எழுத வேண்டும்.
• a:b என்று கொடுக்கப்பட்ட விகிதத்திலிருந்து, a மற்றும் b என்ற உறுப்புகளை பூஜ்ஜியமில்லாத எண்ணால் பெருக்க, சமான விகிதங்கள் கிடைக்கும். எ.கா: 3:5 = 9:15 = 12:20